Mgr. Eva Pernecká, Ph.D.

2022 - 2024

Volné Banachovy prostory hrají velmi důležitou roli při studiu nelineární geometrie Banachových prostorů i v oblastech s tzv. přepravními problémy. To je přivádí na výsluní moderní funkcionální analýzy a odborný zájem o ně dále roste. Volný Banachův prostor nad metrickým prostorem M je dán tím, že M je do něj isometricky vnořen a že každou lipschitzovskou funkci z M do Banachova prostoru lze jednoznačně rozšířit na spojitý lineární operátor na celém volném prostoru. To umožňuje linearizaci nelineárních problémů ovšem za cenu komplikované lineární struktury, jejíž bližší zkoumání je cílem našeho projektu. Volný prostor leží v duálu prostoru lipschitzovských funkcí a tvoří jeho preduál. Proto je třeba pro porozumění volným prostorům analyzovat všechny tři tyto prostory. Hodláme studovat reprezentace funkcionálů na prostorech lipschitzovských funkcí a topologické aspekty izomorfních volných prostorů. To by mohlo přispět k řešení některých známých otevřených problémů v oboru, jako je komplementovanost v biduálu, jednoznačnost preduálu nebo existence izomorfismů určitých volných prostorů.

2018 - 2021

Nelineární funkcionální analýza se zabývá problémy, které se týkají zobrazení s různou mírou regularity mezi Banachovými prostory a jejich podmnožinami. Speciálně, studuje charakterizaci Banachových prostorů podle jejich metrické struktury a stabilitu jejich vlastností při nelineárních homeomorfismech a vnořeních. Jedním z velmi důležitých nástrojů jsou takzvané Lipschitz-free Banachovy prostory, preduály prostorů Lipschitzovských funkcí, které umožňují abstraktní linearizaci Lipschitzovských zobrazení mezi metrickými prostory. V našem výzkumu plánujeme studovat některé otevřené otázky ohledně struktury (univerzalita, vnoření, slabá sekvenciální úplnost, komplementovatelnost) a aproximačních vlastností Lipschitz-free prostorů. Dále se plánujeme zabývat otázkou, zda lze Sobolevův homeomorfismus aproximovat difeomorfismy či po částech lineárními homeomorfismy, což je problém velkého významu v teorii nelineární elasticity, PDR a variačního počtu.